Nguồn gốc và sự phát triển của phương pháp toán học trong kinh tế học

1. Augustin Cournot bàn về phương pháp toán

Antoine Augustin Cournot là người sáng lập kinh toán học thực sự. Không ai có thể hoàn thiện hơn hiểu biết của Cournot về vai trò và lợi thế áp dụng toán học vào kinh tế học. Sử dụng toán học theo cách hiểu phôi thai của Cournot không khác với việc miêu tả lý thuyết kinh tế bằng từ ngữ hay đồ thị. David Ricardo cho là Cournot chỉ ngụy trang đại số của ông dưới lớp vỏ “tính toán độ dài buồn tẻ bằng số” (Mathematical Principles, trang 4). Nhưng Cournot hiểu rõ tính toán bằng số không phải là lợi ích duy nhất hay thậm chí lợi ích chính khi áp dụng toán học. Ông viết:

“Tôi đã nói hầu hết tác giả dành trọn đời mình cho môn kinh tế chính trị học dường như cũng có quan niệm sai lầm về việc áp dụng phân tích toán học vào lý thuyết của cải. Họ hình dung rằng việc sử dụng ký hiệu và công thức chỉ có thể dẫn đến phép tính bằng số, và điều dễ nhận thấy là chủ đề không phù hợp với việc xác định giá trị bằng số như thế chỉ riêng trong lý thuyết, kết luận rút ra là công cụ toán học, nếu không có khả năng dẫn đến kết quả sai lầm thì ít nhất cũng vô ích và thông thái rởm. Nhưng những ai có kỹ năng trong phân tích toán học đều biết mục đích của toán học không đơn thuần là tính toán các con số, mà toán học phải dùng để tìm ra mối quan hệ giữa biên độ vốn không thể diễn đạt bằng con số và giữa các hàm số mà quy luật của chúng không thể diễn đạt bằng đại số”. (Mathematical Principles, trang 2-3). Mặc dù dữ liệu đầy đủ khó đến được trong thời đại của Cournot (cũng như thời đại của chúng ta), nhưng dù sao ông cũng nhìn thấy vai trò của toán học tạo thuận tiện cho khả năng trực giác kinh tế về các giá trị phi số lượng (chẳng hạn như giá cả và số lượng) đều liên quan với nhau và các biên độ khác. Ký hiệu toán học, theo từ dùng của Cournot đều có khả năng:

“Tạo thuận tiện cho việc giải thích vấn đề, làm cho vấn đề [đúng nguyên văn] chính xác hơn, để mở đường phát triển kéo dài hơn, và tránh sự lạc đề khi tranh luận mơ hồ”. (Mathematical Principles, trang 4).

Vì các hàm do Cournot phát triển nằm trong hàng hóa xác định và không gian giá cả, nên có thể sử dụng hình học Euclide (nghĩa là đồ thị, và do Cournot sử dụng) thể hiện lý thuyết kinh tê’ tương đương với xử lý toán học(3).

2. Công cụ toán học thông thường sử dụng trong kinh tế học

Về nguyên tắc, việc diễn đạt lý thuyết kinh tế bằng văn học, đồ thị và toán học không khác biệt trong chi tiết cơ bản. Nhưng cũng có phí tổn và lợi ích khi sử dụng từng phương tiện diễn đạt. Tương tự, hãy xét việc sử dụng máy vi tính và phần mềm. Sử dụng phần mềm về cơ bản là phương tiện qua đó chúng ta xử lý thông tin, nghĩa là đưa chúng ta từ đầu vào đến đầu ra. Một máy đánh chữ thông thường giúp chúng ta viết chữ và suy nghĩ (đầu vào) ra giấy, có thể đọc được (đầu ra). Chương trình phần mềm máy tính (chẳng hạn phần mềm xử lý văn bản) giúp chúng ta làm công việc tương tự. Mỗi phần mềm trọn gói, cho dù xử lý văn bản hay số liệu đều giúp chúng ta chuyển đầu vào thành đầu ra, và mỗi phần mềm đều hoạt động khác biệt. Dĩ nhiên, cũng cần có thời gian để học một phần mềm trọn gói, nhưng một khi đã học xong, thì công cụ sử dụng nhiều lần đối với bất kỳ công việc nào phù hợp.

Một trong những nhiệm vụ của lý thuyết gia kinh tế là phải lập luận suy diễn từ định đề (giả định về hành vi kinh tế) cho đến kết luận về phương cách thế giới đang hoạt động. Cũng như từ ngữ và suy nghĩ có thể do máy đánh chữ hay phần mềm văn bản xử lý, ít nhiều cũng có cách hiệu quả để đi từ định đề đến kết luận trong diễn đạt lý thuyết kinh tế. Mỗi loại phần mềm đều có ưu khuyết điểm, cũng như mỗi cách diễn đạt kinh tế đều có điểm thuận lợi và bất lợi.

Nhiều bạn đọc hiểu dễ hơn khi lập luận bằng lời thuần túy, nhưng Cournot thừa nhận giải thích bằng lời dứt khoát có hạn chế nhất định. Dùng văn chương để giải thích dẫn đến sự lạc đề và lập luận mơ hồ. Nơi nào đòi hỏi lập luận công phu, thì nơi ấy diễn đạt bằng đồ thị và toán học tỏ ra chính xác hơn. Đồ thị thể hiện các mối quan hệ và lý thuyết kinh tế tạo ra hình ảnh rất hữu ích, giúp nhà kinh tế nắm bắt và triển khai các mối quan hệ phức tạp. Đồ thị đã và đang được giới lý thuyết gia kinh tế chọn như một phương tiện diễn đạt tư tưởng kinh tế. Nhưng đồ thị cũng có hạn chế. Khi vấn đề vượt quá hai chiều (nghĩa là quan hệ mức cầu liên quan đến thay đổi về giá, số lượng và thu nhập), đồ thị trở thành cồng kềnh. Ngoài ra, đồ thị cũng hạn chế ở ba chiều vì thế không thích hợp với các vấn đề liên quan có hơn ba chiều. Toán học được các tác giả Tân cổ Điển như Jevons sử dụng để giải thích lý thuyết hành vi tiêu dùng đơn giản, nhưng khi giải quyết các vấn đề lớn hơn (như cân bằng tổng quát Walras), thì các cách diễn đạt (“phần mềm”) trở nên cần thiết, và toán học trở thành công cụ của giới lý thuyết gia kinh tế.

3. Lợi ích mà toán học mang lại cho kinh tế học

Lợi ích mà toán học mang đến cho kinh tế học ít nhất gồm:

(1) Toán học làm cho giả định và tiền đề rõ ràng, qua đó loại trừ thành kiến “tiềm ẩn” của lý thuyết,

(2) Làm cho việc trình bày lý thuyết kinh tế ngày càng chính xác hơn và

(3) Cho phép các nhà kinh tế giải quyết dễ dàng hơn vấn đề kinh tế nhiều hơn hai chiều.

Nhiều loại định lý toán học, một số cực kỳ phức tạp, trở thành bộ phận khăng khít trong “phần mềm” của nhà kinh tế học.

4. Phép tính tích phân, vi phân

Ngoài số học đơn giản, công cụ toán học hữu dụng nhất của nhà kinh tế học là phép tính vi phân. Như chúng ta biết, số kỹ sư kinh tế ban đầu như Dupuit, Ellet, và Lardner và các nhà kinh tế học như Jevons, Marshall và Walras sử dụng nhiều hình thức tính toán. Các mô thức kinh tế số lượng thuần túy giải quyết chiều hướng. Vì thế, một giả thuyết phát biểu rằng khi sự gia tăng về nhu cầu (cung giữ nguyên không đổi) làm gia tăng cả giá cân bằng lẫn số lượng khiến cho phát biểu số lượng về chiều hướng giá cả và số lượng. Nhưng vấn đề giá cả và số lượng sẽ thay đổi nhiều bao nhiêu trước sự thay đổi về mức cầu lại là một câu hỏi về số lượng (câu trả lời bao gồm số lượng). Phép tính vi phân, chủ yếu giải quyết tỉ lệ thay đổi, vì thế là công cụ tự nhiên đổi với nhà kinh tế trong việc xây dựng và thảo luận lý thuyết kinh tế.

Các nhà kinh tế học cũng không quan tâm nhiều đến tổng Sũ lượng như họ quan tâm trong số lượng biên tế. Trong lý thuyết doanh nghiệp chẳng hạn, doanh nhân quan tâm đến phí tổn biên tế và thu nhập biên tế của hoạt động này hay hoạt động khác hay sự thay đổi chính sách. Phép tính vi phân duy nhất thích hợp trong việc đưa ra những câu trả lời như thế. Chẳng hạn hay chọn lý thuyết hành vi tiêu dùng tiêu chuẩn. Người tiêu dùng, với một tập hợp các lựa chọn đối với tất cả hàng hóa và dịch vụ, phải đối mặt với một tập hợp giá cả nhất định và bị kiềm chế bằng thu nhập của anh ta. Quá trình toán học mô tả giải pháp của người tiêu dùng đối với vấn đề tối ưu hóa hiệu dụng trong những tình huống này gọi là tối ưu hóa kiềm chế vốn. là sự ứng dụng trực tiếp phép tính vi phân. Một ví dụ khác do lý thuyết tối đa hóa hiệu dụng của Cournot đưa ra. Cournot cụ thể hóa giải pháp khi đòi hỏi phải có tỉ lệ thay đổi thu nhập của doanh nghiệp (nghĩa là thu nhập biên tế) và phí tổn (nghĩa là phí tổn biên tế) phải bằng nhau. Thu nhập biên tế và phí tổn biên tế được xác định bằng việc lấy đạo hàm của các hàm tổng thu nhập và tổng phí tổn, vì thế cung cấp minh họa khác về ứng dụng trực tiếp phép tính vi phân.

Các phép tính khác, chẳng hạn như phép tính tích phân cũng tìm thấy ứng dụng có sẵn đôi với các vấn đề kinh tế, nhất là trong các lĩnh vực tổ chức công nghiệp và tài chính công cộng. Quyết định liệu có phải xây dựng một chiếc cầu mới hay một công viên mới có nên được cung cấp, cùng những yếu tố khác, bằng phép tính và so sánh phí tổn và lợi ích kinh tế. Một phương tiện thông thường để tính lợi ích là tính số trả trội của người tiêu dùng, nghĩa là giá tối đa mà người tiêu dùng sẵn sàng trả cho hàng hóa hay dịch vụ chứ không phải bỏ đi không mua hàng. Cách đánh giá bằng toán học của tổng “lợi ích” này là tích phân (nghĩa là tổng kết) lợi ích của mọi cá nhân dưới đường cong cầu đối với hàng hóa đang nhắc đến. Một khi dự đoán đường cong cầu và tính được phí tổn dự án, phép tính tích phân cung cấp cho nhà kinh tế học một công cụ làm sẵn để tính toán và so sánh thực tế.

5 Hệ thống tuyến tính và đại số học tuyến tính

Đại số, cho dù đơn giản hay phức tạp, cung cấp cho nhà kinh tế một kho công cụ hay “phần mềm” qua đó diễn đạt lý thuyết kinh tế. Nhất là khi nhà kinh tế phải đối mặt với nhiệm vụ dự đoán các mối quan hệ cân bằng tổng quát (Walras) và các mối tương quan. Một ngành đại số gọi là đại số ma trận chứng tỏ đặc biệt hữu dụng trong việc giải quyết nhiều phương trình và biến sô” tóm lược hay ước đoán trong nền kinh tế thế giới thực.

Sự kết hợp đại số tuyến tính và ma trận cung cấp cho nhà kinh tế học một quá trình ước tính mô tả các môi quan hệ sản xuất hay tiêu dùng (hay yếu tố khác) như tuyến tính, hay có thể rút gọn thành, hay ước đoán bằng các mối quan hệ tuyến tính. Thuận lợi của quá trình là hệ thống đồ sộ các phương trình có thể tính toán nhanh chóng bằng máy vi tính để khám phá những quan hệ phức tạp trong hệ thông kinh tế. Có thể bất lợi khi sử dụng quan hệ tuyến tính là ngay cả ước đoán, chúng vẫn không thể nắm bắt chính xác đặc điểm các quan hệ sản xuất hay tiêu dùng.

LUẬT LVN GROUP (Sưu tầm)