Trong hình học thì đường trung tuyến của một tam giác được định nghĩa là một đoạn thẳng nối từ đỉnh của tam giác tới trung điểm của cạnh đối diện. Mỗi tam giác sẽ có 3 đường trung tuyến.
Đường trung tuyến là gì? Đường trung tuyến của một tam giác là gì? Tính chất đường trung tuyến trong tam giác là gì? Công thức tính độ dài đường trung tuyến trong tam giác như thế nào? Trong nội dung bài viết này, chúng tôi sẽ có những chia sẻ giúp làm rõ các thắc mắc trên. Mời Quý vị theo dõi nội dung.
Khái niệm đường trung tuyến
Đường trung tuyến của một đoạn thẳng là một đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng đó.
Đường trung tuyến của tam giác là gì?
Trong hình học thì đường trung tuyến của một tam giác được định nghĩa là một đoạn thẳng nối từ đỉnh của tam giác tới trung điểm của cạnh đối diện. Mỗi tam giác sẽ có 3 đường trung tuyến.
Tính chất của đường trung tuyến trong tam giác
– Ba đường trung tuyến của tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó cách đỉnh một khoảng bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.
– Giao điểm của ba đường trung tuyến gọi là trọng tâm.
– Vị trí của trọng tâm tam giác: Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.
– Đường trung tuyến trong tam giác vuông:
+ Trong tam giác vuông, trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng 1/2 cạnh huyền.
+ Một tam giác có trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó thì tam giác ấy là tam giác vuông.
+ Đường trung tuyến của tam giác vuông có đầy đủ các tính chất của một đường trung tuyến tam giác.
– Đường trung tuyến trong tam giác cân:
Đường trung tuyến ứng với cạnh đáy thì vuông góc với cạnh đáy. Và chia tam giác thành 2 tam giác bằng nhau.
– Đường trung tuyến trong tam giác đều:
+ 3 đường trung tuyến của tam giác đều sẽ chia tam giác đó thành 6 tam giác có diện tích bằng nhau.
+ Trong tam giác đều đường thẳng đi qua một đỉnh bất kỳ và đi qua trọng tâm của tam giác sẽ chia tam giác đó thành 2 tam giác có diện tích bằng nhau.
Công thức tính độ dài đường trung tuyến của tam giác
Ta có thể tính được độ dài đường trung tuyến của một tam giác thông qua độ dài các cạnh của tam giác ấy. Độ dài của trung tuyến được tính bằng định lý Apollonius như sau:
Trong đó a, b và c là các cạnh của tam giác với các trung tuyến tương ứng ma, mb, mc từ trung điểm.
Vậy là ta đã tìm hiểu khá đầy đủ về định nghĩa và tính chất của đường trung tuyến, cũng như áp dụng nó trong một số trường hợp đặc biệt. Sau đây chúng ta hãy luyện tập thông qua một số bài tập đơn giản nhé.
Bài tập về đường trung tuyến của tam giác
Bài tập 1: Cho hai đường thẳng x’x và y’y gặp nhau ở O. Trên tia Ox lấy hai điểm A và B sao cho A nằm giữa O và B, AB=2OA. Trên y’y lấy hai điểm L và M sao cho O là trung điểm của đoạn thẳng LM. Nối B với L, B với M và gọi P là trung điểm của đoạn thẳng MB, Q là trung điểm của đoạn thẳng LB. Chứng minh các đoạn thẳng LP và MQ đi qua A.
Cách giải:
Ta có O là trung điểm của đoạn LM (gt)
Suy ra BO là đường trung tuyến của ΔBLM (1)
Mặt khác BO = BA + AO vì A nằm giữa O, B hay BO = 2 AO + AO= 3AO vì AB = 2AO (gt)
Suy ra AO= ⅓BO hay BA= ⅔BO (2)
Từ (1) và (2) suy ra A là trọng tâm của ΔBLM ( tính chất của trọng tâm)
mà LP và MQ là các đường trung tuyến của ΔBLM vì P là trung điểm của đoạn thẳng MB (gt)
suy ra các đoạn thẳng LP và MQ đều đi qua A ( tính chất của ba đường trung tuyến)
Bài tập 2: Cho ΔABC có BM, CN là hai đường trung tuyến cắt nhau tại G. Kéo dài BM lấy đoạn ME=MG. Kéo dài CN lấy đoạn NF=NG. Chứng minh:
a) EF=BC
b) Đường thẳng AG đi qua trung điểm BC.
Cách giải:
a) Ta có BM và CN là hai đường trung tuyến gặp nhau tại G nên G là trọng tâm của tam giác ΔABC.
⇒ GC = 2GN
mà FG = 2GN ⇒ GC=GF
Tương tự BG, GE và ∠G1 = ∠G2 (đd). Do đó ΔBGC = ΔEGF(c.g.c))
Suy ra BC = EF
b) G là trọng tâm nên AG chính là đường trung tuyến thứ ba trong tam giác ABC nên AG đi qua trung điểm của BC.