Lý thuyết xác suất và thống kê toán học là một ngành khoa học đang giữ vị trí cần thiết trong các lĩnh vực ứng dụng rộng rãi và phong phú của đời sống con người. Cùng với sự phát triển mạnh mẽ của khoa học và công nghệ, nhu cầu hiểu biết và sử dụng các công cụ ngẫu nhiên trong phân tích và xử lý thông tin ngày càng trở nên đặc biệt cần thiết.
Các kiến thức và phương pháp của xác suất và thống kê đă hỗ trợ hữu hiệu các nhà nghiên cứu trong nhiều lĩnh vực khoa học khác nhau như vật lý, hóa học, sinh y học, nông học, kinh tế học, xã hội học, ngôn ngữ học…
Tìm hiểu quy luật xác suất thống kê
1. Xác suất là gì?
Xác suất biểu thị khả năng xảy ra kết quả của bất kỳ sự kiện ngẫu nhiên nào. Ý nghĩa của thuật ngữ này là để kiểm tra mức độ mà bất kỳ sự kiện nào có khả năng xảy ra. Ví dụ, khi chúng ta tung một đồng xu trong không khí, khả năng nhận được một cái đầu là bao nhiêu? Câu trả lời cho câu hỏi này dựa trên số lượng các kết quả có thể xảy ra. Ở đây khả năng là đầu hoặc đuôi sẽ là kết quả. Vì vậy, xác suất để kết quả này xảy ra là 1/2.
Xác suất là thước đo khả năng xảy ra một sự kiện. Nó đo lường sự chắc chắn của sự kiện. Công thức xác suất được đưa ra bởi;
P (E) = Số kết quả thuận lợi / Tổng số kết quả
P (E) = n (E) / n (S)
Đây,
n (E) = Số sự kiện thuận lợi cho sự kiện E
n (S) = Tổng số kết quả
2. Thống kê là gì?
Thống kê là nghiên cứu về việc thu thập, phân tích, giải thích, trình bày và tổ chức dữ liệu. Nó là một phương pháp thu thập và tổng hợp dữ liệu. Điều này có nhiều ứng dụng từ quy mô nhỏ đến quy mô lớn. Cho dù đó là nghiên cứu về dân số của đất nước hay nền kinh tế của nó, số liệu thống kê được sử dụng cho tất cả các phân tích dữ liệu như vậy.
Thống kê có phạm vi rộng lớn trong nhiều lĩnh vực như xã hội học, tâm lý học, địa chất học, dự báo thời tiết, … Dữ liệu được thu thập ở đây để phân tích có thể là định lượng hoặc định tính. Dữ liệu định lượng cũng có hai dạng như: rời rạc và liên tục. Dữ liệu rời rạc có giá trị cố định trong khi dữ liệu liên tục không phải là dữ liệu cố định mà có phạm vi. Có rất nhiều thuật ngữ và công thức được sử dụng trong khái niệm này. Xem bảng dưới đây để hiểu chúng .
3. Thuật ngữ được sử dụng trong xác suất và thống kê
Có nhiều thuật ngữ khác nhau được sử dụng trong các khái niệm xác suất và thống kê, chẳng hạn như:
- Thử nghiệm ngẫu nhiên
- Mẫu mẫu
- Các biến ngẫu nhiên
- Gia trị được ki vọng
- Sự độc lập
- Phương sai
- Nghĩa là
Hãy để chúng tôi thảo luận về các điều khoản này từng cái một.
Thử nghiệm ngẫu nhiên
Một thử nghiệm mà kết quả của nó không thể được dự đoán, cho đến khi nó được chú ý được gọi là một thử nghiệm ngẫu nhiên. Ví dụ, khi chúng ta ném một con xúc xắc một cách ngẫu nhiên, kết quả là không chắc chắn đối với chúng ta. Chúng tôi có thể nhận được bất kỳ đầu ra nào trong khoảng từ 1 đến 6. Do đó, thử nghiệm này là ngẫu nhiên.
Không gian mẫu
Không gian mẫu là tập hợp tất cả các kết quả có thể có hoặc kết quả của một thử nghiệm ngẫu nhiên. Giả sử, nếu chúng ta ném một con xúc xắc, một cách ngẫu nhiên, thì không gian mẫu cho thí nghiệm này sẽ là tất cả các kết quả có thể có của việc ném một con xúc xắc, chẳng hạn như;
Không gian mẫu = {1,2,3,4,5,6}
Biến ngẫu nhiên
Các biến biểu thị các kết quả có thể có của một thí nghiệm ngẫu nhiên được gọi là các biến ngẫu nhiên. Chúng có hai loại:
- Các biến ngẫu nhiên rời rạc
- Biến ngẫu nhiên liên tục
Các biến ngẫu nhiên rời rạc chỉ nhận những giá trị riêng biệt có thể đếm được. Trong khi các biến ngẫu nhiên liên tục có thể nhận vô số giá trị có thể.
Sự kiện độc lập
Khi xác suất xảy ra của một sự kiện không ảnh hưởng đến xác suất của một sự kiện khác, thì cả hai sự kiện được gọi là độc lập với nhau. Ví dụ, nếu bạn tung một đồng xu và đồng thời ném một con xúc xắc, xác suất nhận được ‘đầu’ độc lập với xác suất nhận được 6 con xúc xắc.
Nghĩa là
Giá trị trung bình của một biến ngẫu nhiên là giá trị trung bình của các giá trị ngẫu nhiên của các kết quả có thể có của một thử nghiệm ngẫu nhiên. Nói một cách dễ hiểu, đó là kỳ vọng về các kết quả có thể xảy ra của thử nghiệm ngẫu nhiên, được lặp đi lặp lại hoặc n số lần. Nó còn được gọi là kỳ vọng của một biến ngẫu nhiên.
Gia trị được ki vọng
Giá trị kỳ vọng là giá trị trung bình của một biến ngẫu nhiên. Đây là giá trị giả định được xem xét cho một thử nghiệm ngẫu nhiên. Nó còn được gọi là kỳ vọng, kỳ vọng toán học hoặc thời gian đầu tiên. Ví dụ: nếu chúng ta tung một con xúc xắc có sáu mặt, thì giá trị mong đợi sẽ là giá trị trung bình của tất cả các kết quả có thể xảy ra, tức là 3,5.
Phương sai
Về cơ bản, phương sai cho chúng ta biết các giá trị của biến ngẫu nhiên được lan truyền thế nào xung quanh giá trị trung bình. Nó chỉ định sự phân bố của không gian mẫu trên giá trị trung bình.
4. Công thức xác suất và thống kê
Công thức xác suất : Đối với hai sự kiện A và B:
Công thức thống kê : Một số công thức cần thiết được liệt kê dưới đây:
Gọi x là một mục đã cho và n là tổng số mục.
5. Các ví dụ đã giải quyết
Dưới đây là một số ví dụ dựa trên các khái niệm thống kê và xác suất để bạn hiểu rõ hơn. Học sinh có thể thực hành thêm các câu hỏi dựa trên các ví dụ đã giải này để hoàn thành tốt đề tài. Mặt khác, hãy sử dụng các công thức được đưa ra trong nội dung trình bày này ở phần trên để giải quyết các vấn đề dựa trên chúng.
Ví dụ 1 : Tìm giá trị trung bình và chế độ của các dữ liệu sau: 2, 3, 5, 6, 10, 6, 12, 6, 3, 4.
Giải pháp :
Tổng số: 10
Tổng của tất cả các số: 2 + 3 + 5 + 6 + 10 + 6 + 12 + 6 + 3 + 7 = 60
Mean = (tổng của tất cả các số) / (Tổng số mục)
Trung bình = 60/10 = 6
Một lần nữa, Số 6 xảy ra 3 lần, do đó Chế độ = 6. Trả lời
Ví dụ 2: Một cái thùng đựng 5 quả bóng màu xanh lam, 4 quả bóng xanh lá cây và 5 quả bóng màu đỏ. Sudheer được yêu cầu chọn ngẫu nhiên 2 quả bóng từ thùng mà không cần thay thế và sau đó chọn thêm một quả bóng nữa. Xác suất anh ta chọn được 2 bi xanh và 1 bi xanh là bao nhiêu?
Bài giải : Tổng số bi = 14
Xác suất của bản vẽ
1 quả bóng xanh = 4/14
một quả bóng màu xanh lá cây khác = 3/13
1 quả bóng màu xanh lam = 5/12
Xác suất chọn được 2 bi xanh và 1 bi xanh = 4/14 * 3/13 * 5/12 = 5/182.
Ví dụ 3 : Tính xác suất để Ram chọn ngẫu nhiên một viên bi và nó không phải là màu đen nếu trong bát có 3 viên bi đỏ, 2 đen và 5 viên bi xanh.
Bài giải : Tổng số viên bi = 10
Viên bi đỏ và xanh = 8
Tìm số viên bi không bị đen rồi chia cho tổng số viên bi.
Vậy P (không phải màu đen) = (số viên bi đỏ hoặc xanh) / (tổng số viên bi)
= 8/10
= 4/5
Ví dụ 4: Tìm giá trị trung bình của dữ liệu sau:
55, 36, 95, 73, 60, 42, 25, 78, 75, 62
Giải pháp: Đưa ra,
55 36 95 73 60 42 25 78 75 62
Tổng các quan sát = 55 + 36 + 95 + 73 + 60 + 42 + 25 + 78 + 75 + 62 = 601
Số lần quan sát = 10
Trung bình = 601/10 = 60,1
Ví dụ 5: Tìm trung vị và trung vị của các dấu sau (trong số 10) mà 20 học sinh có được:
4, 6, 5, 9, 3, 2, 7, 7, 6, 5, 4, 9, 10, 10, 3, 4, 7, 6, 9, 9
Giải pháp: Đưa ra,
4, 6, 5, 9, 3, 2, 7, 7, 6, 5, 4, 9, 10, 10, 3, 4, 7, 6, 9, 9
Thứ tự tăng dần: 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 9, 9, 9, 9, 10, 10
Số lần quan sát = n = 20
Trung vị = (quan sát thứ 10 + 11) / 2
= (6 + 6) / 2
= 6
Quan sát thường xuyên nhất = 9
Do đó, chế độ là 9.