Thiết diện là gì? 2023

Thiết diện là một phần kiến thức trong chương trình Toán học lớp 11, cụ thể là về hình học không gian. Vậy thiết diện là gì? Quý vị hãy cùng chúng tôi tìm hiểu qua nội dung bài viết sau đây.

Thiết diện là gì?

Thiết diện (hay mặt cắt) của hình H khi cắt bởi mặt phẳng (P) là phần chung nhau của mặt phẳng (P) và hình H. Tìm thiết diện tức là tìm hình dạng mặt cắt này, thường là một đa giác như tam giác, tứ giác…

Theo cách khác, thiết diện được định nghĩa là các đoạn giao tuyến giữa mặt phẳng và hình chóp khi nối nhau sẽ tạo ra một đa giác phẳng. Đó chính là thiết diện (hay còn gọi là mặt cắt) của mặt phẳng với hình chóp đó. 

Ví dụ 1: Cho hình chóp ( S.ABCD ). Lấy ( M ) là trung điểm ( SA ). Khi đó mặt phẳng ( (P) ) đi qua ( M ) và song song với mặt phẳng đáy sẽ cắt hình chóp. Thiết diện là tứ giác ( MNPQ ) với ( N,P,Q ) lần lượt là trung điểm ( SB,SC,SD )

Cách xác định thiết diện trong quan hệ song song và quan hệ vuông góc

Cho hình ? và mặt phẳng (?), phần mặt phẳng của (?) nằm trong ? được giới hạn bởi các giao tuyến sinh ra do (?) cắt một số mặt của ? được gọi là thiết diện.

Nhìn chung, để tìm thiết diện tạo bởi hình ? và mặt phẳng (?) ta làm như sau :

+ Bước 1: Tìm giao điểm của mặt phẳng (?) với các cạnh của hình ?. Ta có thể tìm giao điểm của (?) với các mặt của hình ? rồi từ đó xác định các giao điểm với các cạnh.

+ Bước 2: Nối các giao điểm tìm được ở trên. Hình đa diện được tạo bởi các đa diện đó chính là thiết diện cần tìm.

Chú ý: Để tìm thiết diện chúng ta sẽ cần sử dụng một số quan hệ song song, vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

– Cho đường thẳng ?∈(?). Mặt phẳng (?) song song với ? và cắt (?) tại giao tuyến là đường thẳng ?′. Khi đó ?||?′

– Cho hai mặt phẳng (?),(?) thỏa mãn : {(?)⊥(?)(?)∩(?)=?. Khi đó nếu {?′∈(?)?′⊥?⇒?′⊥(?)

Xác định thiết diện trong quan hệ song song

Ví dụ:

Cho hình chóp ?.???? có đáy ???? là hình bình hành. Gọi ? là một điểm bất kì nằm trên ??. Mặt phẳng (?) đi qua ? và song song với ?? và ??. Xác định thiết diện của ?.???? cắt bởi (?)

Cách giải:

Vì (?)||?? và ??∈(???) nên

⇒ giao tuyến của (?) và (???) song song với ??

Trong mặt phẳng (???) dựng ?? song song với ??. Khi đó (?)∩??=?

Ta có:

{(?)||????∈(???)⇒??||((?)∩(???))

Như vậy : (?)∩??=? với ??||??

Tương tự:

{(?)||????∈(????)⇒??||((?)∩(????))

Như vậy: (?)∩??=? với ??||??

Vậy ???? là thiết diện cần tìm.

Xác định thiết diện trong quan hệ vuông góc

Phương pháp:

Cho mặt phẳng (α) cùng với đường thẳng a không vuông góc với (α). Hãy xác định mặt phẳng (β) chứa a và vuông góc với (α).

Cách giải: 

+ Đầu tiên ta cần chọn một điểm A∈a

+  Tiếp theo dựng đường thẳng b đi qua A và vuông góc với (α). Khi đó mp (a,b) chính là mặt phẳng (β).

Ví dụ:

Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông, bên cạnh đó SA ⊥ (ABCD). Gọi (α) là mặt phẳng chứa AB và vuông góc với (SCD). Vậy (α) cắt chóp S.ABCD theo thiết diện là hình gì?.

Câu hỏi ôn tập thiết diện là gì?

Câu 1. Cho tứ diện đều ABCD. Thiết diện của tứ diện ABCD và mặt phẳng trung trực của cạnh BC là?

A. hình thang

B. tam giác vuông

C. hình bình hành

D. tam giác cân

Câu 2. Cho hình chóp S,ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc với (ABCD), SA = AB = a. Gọi (Q) là mặt phẳng qua SA và vuông góc với (SBD). Thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi (Q) là?

A. tam giác vuông

B. tam giác đều

C. tam giác vuông cân

D. hình bình hành

Câu 3. Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với CD. Mặt phẳng (P) // AB // CD lần lượt cắt BC, DB, AD, AC tại M, N, P, Q. Tứ giác MNPQ là hình gì?

A. hình thang

B. hình bình hành

C. hình chữ nhật

D. tứ giác không phải hình thang

Câu 4. Trong không gian, cho hai tam giác đều ABC và ABC’ có cạnh chung AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, CB, BC’ và C’A. Tứ giác MNPQ là hình gì?

A. hình bình hành

B. hình chữ nhật

C. hình vuông

D. hình thang

Câu 5. Cho tứ diện đều ABCD, mặt phẳng (a) qua trung điểm của cạnh AB, song song với AC và BD cắt tứ diện theo thiết diện là?

A. hình tam giác đêu