Đường trung bình là gì? 2023

Có rất nhiều đường đặc biệt trong tam giác và các dạng bài tập liên quan cũng khá đa dạng. Một trong những phần lý thuyết rất quan trọng phải kể đến là chuyên đề đường trung bình của tam giác.

Đường trung bình là gì?

Đường trung bình là một đoạn thẳng đi qua trung điểm của một cạnh của một hình học và vuông góc với cạnh đó, đường trung bình chia đôi cạnh mà nó đi qua và nó cũng chia đôi diện tích của hình học đó.

Ví dụ, trong tam giác ABC, đường trung bình của cạnh AB là đoạn thẳng CD, với C là trung điểm của AB. Đường trung bình CD chia đôi cạnh AB thành hai đoạn thẳng bằng nhau và chia đôi diện tích của tam giác ABC thành hai nửa diện tích bằng nhau.

Đường trung bình cũng có thể được sử dụng để tính toán các thông số hình học khác, chẳng hạn như đường trung trực, trung tuyến, trung điểm và nhiều hơn nữa. Nó là một khái niệm quan trọng trong hình học và được sử dụng rộng rãi trong nhiều ứng dụng thực tế.

Cách chứng minh đường trung bình

Để chứng minh đường trung bình của một cạnh của một hình học, chúng ta có thể sử dụng định lí đồng trục, định lí Pitago và các định lí hình học khác. Dưới đây là một ví dụ cách chứng minh đường trung bình trong tam giác ABC:

Giả sử CD là đường trung bình của cạnh AB của tam giác ABC, với C là trung điểm của AB. Ta cần chứng minh rằng CD chia đôi AB và chia đôi diện tích của tam giác ABC.

Bước 1: Vẽ DE song song với BC, với E thuộc AC. Khi đó, ta có hai tam giác ABC và ADE đồng dạng với tỉ lệ 1:2.

Bước 2: Do tam giác ABC và ADE đồng dạng với tỉ lệ 1:2, ta có AB = 2AD và AC = 2AE.

Bước 3: Áp dụng định lí Pitago cho tam giác ADC, ta có:

AD² + CD² = AC²

Vì AC = 2AE và CD = AC/2 (do C là trung điểm của AB), ta có:

AD² + (AC/2)² = (2AE)²

Tương đương với:

AD² + AC²/4 = 4AE²

Thay AC và AD bằng 2AE, ta có:

(2AE)² + AC²/4 = 4AE²

Tương đương với:

AC²/4 = AE²

Bước 4: Do tam giác ABC và ADE đồng dạng với tỉ lệ 1:2, nên diện tích của tam giác ABC bằng diện tích của tam giác ADE nhân với tỉ số bình phương của các cạnh tương ứng, tức là:

Diện tích tam giác ABC = Diện tích tam giác ADE x 4

Thay vào đó diện tích tam giác ADE bằng 1/2 x AE x CD (do CD là đường trung bình của AB), ta có:

Diện tích tam giác ABC = 2 x (1/2 x AE x CD) x 4 = 4AE x CD

Vì AE² = AC²/4 và diện tích tam giác ABC = 4AE x CD, nên:

Diện tích tam giác ABC = CD x AB/2

Tức là CD chia đôi diện tích tam giác ABC.

Bước 5: Kết hợp với kết quả AB = 2AD, ta có:

CD/AD = (CD/AB) x (AB/AD) = 1/2

Tức là CD chia đôi cạnh AB.

Vậy, ta đã chứng minh rằng đường trung bình của một cạnh của tam giác chia đôi cạnh đó và chia đôi diện tích của tam giác đó. Quá trình chứng minh này sử dụng đồng dạng tam giác, định lí Pitago và tính chất của đường trung bình. Cách chứng minh này không chỉ áp dụng trong tam giác mà còn được sử dụng trong các hình học khác như hình vuông, hình chữ nhật, hình tròn và nhiều hình học khác.

Ngoài ra, để chứng minh đường trung bình, chúng ta cũng có thể sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian hai chiều hoặc ba chiều. Với phương pháp này, chúng ta đặt hệ tọa độ trên mặt phẳng hoặc không gian ba chiều, gán các điểm trong hình học cho các tọa độ tương ứng, sau đó sử dụng các công thức tính khoảng cách và đạo hàm để tính toán các đại lượng liên quan đến đường trung bình.

Trong hình học, đường trung bình là một khái niệm quan trọng và được sử dụng rộng rãi trong các bài toán và ứng dụng thực tế. Nó giúp chúng ta hiểu và tính toán các đại lượng hình học một cách dễ dàng và chính xác.

Khái niệm đường trung bình của tam giác

Đường trung bình của tam giác được hiểu là đoạn thẳng nối hai trung điểm bất kỳ của một tam giác, chính vì vậy một tam giác sẽ có ba đường trung bình. Đường trung bình tạo ra các cặp cạnh có tỷ lệ với nhau và song song với cạnh còn lại. Trong trường hợp nếu là tam giác đặc biệt như tam giác đều hay tam giác cân, thì đường trung bình có thể bằng nửa cạnh thứ 3.

Nhiều người hay nhầm lẫn khi nhắc đến đường trung bình là gì thì luôn nghĩ đến đường trung bình của tam giác và đường trung bình của hình thang là giống nhau. Song hai đường trung bình của tam giác và hình thang là hoàn toàn khác biệt bởi:

Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang. Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy của hình thang và có độ dài bằng một nửa tổng độ dài hai đáy.

Như vậy Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác, Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang.

Tính chất đường trung bình trong tam giác

– Đường trung bình trong tam giác có tính chất:

+ Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai của tam giác thì sẽ đi qua trung điểm của cạnh thứ ba còn lại.

+ Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba còn lại và có độ dài bằng một nửa cạnh ấy.

Lưu ý: Trong hình thang thì đường trung bình có tính chất:

+ Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm cạnh bên thứ hai.

Ví dụ: Cho hình thang ABCD. E là trung điểm cạnh AD. Qua A kẻ đường thẳng song song với hai đáy, cắt cạnh BC tại F. Chứng minh F là trung điểm BC.

Chứng minh định lý: gọi H là giao điểm của AC và EF. Theo định lý 1 về đường trung bình trong tam giác, vì EH đi qua trung điểm AD và song song với DC nên H là trung điểm cạnh AC. Xét tương tự trong tam giác CAB, vì HF đi qua trung điểm AC và song song với AB nên F là trung điểm BC. Định lý được chứng minh.

+ Đường trung bình của hình thang thì song song hai đáy và dài bằng nửa tổng độ dài hai đáy

Các dạng toán thường gặp khi nhắc đến đường trung bình của tam giác

– Dạng 1: Chứng minh các hệ thức về cạnh và góc. Tính các cạnh và góc.

Phương pháp:

Sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác và hình thang.

+ Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.

+ Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy.

+ Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba.

+ Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm cạnh bên thứ hai.

– Dạng 2: Chứng minh một cạnh là đường trung bình của tam giác, hình thang.

Phương pháp:

Sử dụng định nghĩa đường trung bình của tam giác và hình thang.

+ Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác.

+ Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang.

Đường trung bình hình thang là gì?

Đường trung bình của một hình thang là một đoạn thẳng đi qua trung điểm của cạnh đáy và vuông góc với đường chéo. Đường trung bình này chia đôi cạnh đáy và có độ dài bằng trung bình cộng của hai đoạn thẳng song song với cạnh đáy.

Để tính độ dài đường trung bình của một hình thang ABCD, ta cần biết độ dài hai cạnh bên AB và CD, cạnh đáy AD và đường chéo AC. Khi đó, ta có công thức tính độ dài đường trung bình như sau:

Đường trung bình = 1/2 x (AB + CD) x (AC/AD)

Trong đó, AB và CD là độ dài hai cạnh bên, AC là độ dài đường chéo và AD là độ dài cạnh đáy của hình thang.

Ví dụ, giả sử hình thang ABCD có AB = 6 cm, CD = 10 cm, AD = 8 cm và AC = 7 cm. Để tính độ dài đường trung bình EF, ta sử dụng công thức trên và có:

EF = 1/2 x (6 + 10) x (7/8) = 8 cm

Vậy độ dài đường trung bình của hình thang này là 8 cm.

Đường trung bình của hình thang là một khái niệm quan trọng và được sử dụng trong nhiều bài toán hình học và ứng dụng thực tế, chẳng hạn như tính diện tích hình thang, tính lượng vật liệu cần thiết để làm một bề mặt nghiêng hoặc tính lực cần thiết để kéo một vật trên một mặt phẳng nghiêng.

Trên đây là một số chia sẻ của chúng tôi về cung cấp các thông tin giải đáp xoay quanh vấn đề đường trung bình là gì? Khách hàng sau khi theo dõi nội dung bài viết có thông tin nào chưa được nắm rõ vui lòng phản hồi trực tiếp để được nhân viên hỗ trợ nhanh nhất.