Hình thang là gì? Tính chất và cách nhận biết hình thang?

Hình thang là một tứ giác có hai cạnh đối song song. Tuy nhiên, hình thang lại có nhiều dạng đặc biệt khiến chúng ta khó phân biệt. Bài viết dưới đây sẽ giải đáp cho bạn về tính chất của hình thang, dấu hiệu nhận biết và phân biệt các dạng đặc biệt của hình thang.

1. Hình thang là gì?

Hình thang là tứ giác lồi có hai cạnh đối song song. Hai cạnh này được gọi là hai cạnh đáy của hình thang. Hai cạnh còn lại gọi là hai cạnh bên.

Ví dụ: Cho tứ giác ABCD là hình thang => AB // CD hoặc BC // AD.

2. Tính chất của hình thang:

– Tính chất về góc:

+ Trong hình thang cân, hai góc kề của một đáy bằng nhau.

+ Hai góc kề một cạnh bên của hình thang có tổng bằng 180°, hai góc này nằm ở vị trí trong cùng phía của hai đoạn thẳng song song là hai cạnh đáy.

– Tính chất về cạnh:

+ Trong một hình thang, nếu hai cạnh đáy bằng nhau thì hai cạnh bên song song và bằng nhau.

+ Trong một hình thang, nếu có hai cạnh bên song song thì chúng bằng nhau và hai cạnh đáy cũng bằng nhau.

+ Trong một hình thang cân, hai đường chéo bằng nhau.

– Đường trung bình:

+ Đường trung bình của hình thang là đường thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang.

+ Đường trung bình có tính chất: Đường trung bình của hình thang thì có độ dài bằng nửa tổng độ dài hai cạnh đáy.

3. Dấu hiệu nhận biết của hình thang:

Để nhận biết hình thang, ta dựa vào những tính chất sau:

– Tứ giác có hai cạnh đối song song.

– Hình thang có một góc vuông là hình thang vuông.

– Hình thang có hai góc kề một đáy là hình thang cân.

– Hình thang có hai cạnh bên bằng nhau là hình thang cân.

– Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.

4. Các dạng đặc biệt của hình thang:

– Hình thang vuông:

+ Khái niệm: Hình thang vuông là hình thang có một góc vuông.

+ Tính chất: Hình thang vuông có hai cạnh đáy song song và vuông góc với hai đáy tạo nên góc 90°.

– Hình thang cân:

+ Khái niệm: Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.

+ Tính chất: Có hai cạnh đáy song song với nhau; hai cạnh bên bằng nhau; hai góc kề một đáy bằng nhau; hai đường chéo bằng nhau và hình thang cân nội tiếp đường tròn.

– Hình bình hành:

+ Khái niệm: Hình bình hành là hình thang có hai cạnh đáy bằng nhau, hai cạnh bên song song và bằng nhau.

+ Tính chất: Có các cạnh đối song song và bằng nhau; các góc đối bằng nhau và hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

– Hình chữ nhật:

+ Khái niệm: Hình chữ nhật là một tứ giác lồi có bốn góc vuông hay hình bình hành có một góc vuông.

+ Tính chất: Có hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường, đồng thời tạo thành bốn tam giác cân; có bốn góc vuông bằng nhau; có các cạnh đối song song và bằng nhau.

5. Công thức tính diện tích hình thang:

Diện tích của hình thang được tính bằng đường trung bình nhân với chiều cao:

S = [(a + b)/2] x h.

Diện tích hinh thang bằng nửa tích của tổng hai cạnh đáy với chiều cao:

S = (a + b) x h/2.

Trong đó:

S: Diện tích hình thang.

a, b: Độ dài đáy lớn và đáy nhỏ của hình thang.

h: Chiều cao của hình thang.

6. Công thức tính chu vi hình thang:

Chu vi hình thang bằng tổng độ dài của hai đáy và hai cạnh bên (tất cả các cạnh của nó):

P = a + b + c + d.

7. Một số bài tập về hình thang:

Bài 1: Các góc của tứ giác có thể là?

A. Bốn góc nhọn.

B. Bốn góc tù.

C. Bốn góc vuông.

D. Một góc vuông, ba góc nhọn.

Đáp án: C.Bốn góc vuông.

Giải:

Tổng các góc trong một tứ giác bằng 360°. các góc của tứ giác có thể là bốn góc vuông vì khi đó tổng các góc của tứ giác này bằng 360°.

Các trường hợp còn lại không thỏa mãn định lí tổng các góc trong tam giác.

Bài 2: Chọn câu đúng nhất trong các câu sau khi định nghĩa tứ giác ABCD:

A. Tứ giác ABCD là hình gồm bốn đoạn thẳng AB, BC, CD, DA.

B. Tứ giác ABCD là hình gồm bốn đoạn thẳng AB, BC, CD, DA, trong đó bất kỳ hai đoạn thẳng nào cũng không cùng nằm trên một đường thẳng.

C. Tứ giác ABCD là hình gồm bốn đoạn thẳng AB, BC, CD, DA, trong đó hai đoạn thẳng kề một đỉnh song song với nhau.

D. Tứ giác ABCD là hình gồm bốn đoạn thẳng AB, BC, CD, DA và bốn góc tại đỉnh bằng nhau.

Đáp án: B. Tứ giác ABCD là hình gồm bốn đoạn thẳng AB, BC, CD, DA, trong đó bất kỳ hai đoạn thẳng nào cũng không cùng nằm trên một đường thẳng.

Bài 3: Tứ giác có hai cạnh đối song song và hai đường chéo bằng nhau là:

A. Hình thang.

B. Hình thang cân.

C. Hình bình hành.

D. Hình thoi.

Đáp án: B. Hình thang cân. Dựa vào dấu hiệu nhận biết hình thang cân nên ta chọn đáp án B.

Bài 4: Câu nào dưới đây là đúng khi nói về hình thang:

A. Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song.

B. Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối bằng nhau.

C. Hình thang là tứ giác có hai cạnh kề bằng nhau.

D. Cả A, B, C đều sai.

Đáp án: A.Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song.

Bài 5: Chọn đáp án đúng:

A. Hình thang cân là hình thang có hai goc kề một cạnh bên bằng nhau.

B. Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một cạnh đáy bằng nhau.

C. Hình thang cân là hình thang có hai cạnh bên bằng nhau.

D. Hình thang cân là hình thang có hai cạnh đáy bằng nhau.

Đáp án: B.Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một cạnh đáy bằng nhau.

Bài 6: Nếu hình thang có hai cạnh bên song song thì?

A. Hai cạnh bên bằng nhau.

B. Hai cạnh đáy bằng nhau.

C. Hai cạnh bên bằng nhau và hai cạnh đáy bằng nhau.

D. Cả 3 đáp án trên đều sai.

Đáp án: C.Hai cạnh bên bằng nhau và hai cạnh đáy bằng nhau.

Bài 7: Góc kề cạnh một bên hình thang có số đo 75 độ, góc kề còn lại của cạnh bên đó là:

A. 85 độ.

B. 95 độ.

C. 105 độ.

D. 115 độ.

Đáp án: C. 105 độ.

Giải:

Ta có tính chất của hình thang: Góc A và D là hai góc trong cùng phí nên góc A + góc D = 180°

=> góc A = 180° – góc D

= 180° – 75°

= 105°.

8. Một số bài tập vận dụng:

Bài 1: Thửa ruộng hình thang có trung bình cộng hai đáy là 46 m. Nếu mở rộng đáy lớn thêm 12 m và giữ nguyên đáy bé thì thì được thửa ruộng mới có diện tích lớn hơn diện tích thửa ruộng ban đầu là 114 m². Tính diện tích thửa ruộng ban đầu.

Bài 2: Hình thang có tổng độ dài hai đáy bằng 30,5 dm, đáy lớn bằng 1,5 lần đáy bé, chiều cao hơn đáy bé 6,2 dm. Tính diện tích hình thang.

Bài 3: Cho hình thang ABCD có đáy AB = 4/7 CD. Nối A với C, B với D, chúng cắt nhau tại M. Biết diện tích hình tam giác BMC bằng 15 cm², tính diện tích hình thang ABCD.

Bài 4: Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD. Biết AB = 15cm, CD = 20cm, chiều cao hình thang là 14cm. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau ở E.

a) Tính diện tích hình thang ABCD.

b) Chứng minh hai tam giác AED và BEC có diện tích bằng nhau.

c) Tính diện tích tam giác CED.

Bài 5: Tứ giác ABCD có BC = CD và BD là tia phân giác của góc D. Chứng minh rằng ABCD là hình thang.

Bài 6: Cho hình thang ABCD (AB // CD), các tia phân giác của góc A, góc D cắt nhau tại M thuộc cạnh BC. Cho biết AD = 7cm, chứng minh rằng một trong hai đáy của hình thang có độ dài nhỏ hơn 4cm.

Bài 7: Một thửa ruộng hình thang có đáy lớn 120 m, đáy bé bằng 2/3 đáy lớn và bằng 4/3 chiều cao. Người ta trồng ngô trên thửa ruộng đó, tính ra trung bình 100 m2 thu được 50 kg ngô. Hỏi cả thửa ruộng thu được bao nhiêu tạ ngô?

Bài 8: Thửa ruộng hình thang có trung bình cộng hai đáy là 46 m. Nếu mở rộng đáy lớn thêm 12 m và giữ nguyên đáy bé thì thì được thửa ruộng mới có diện tích lớn hơn diện tích thửa ruộng ban đầu là 114 m². Tính diện tích thửa ruộng ban đầu?