Số chính phương là gì? Cách nhận biết, ví dụ số chính phương?

Số chính phương giúp các bạn học sinh làm quen với chương trình toán THCS. Tìm hiểu về định nghĩa, tính chất và dấu hiệu số chính phương sẽ giúp các bạn học sinh nắm chắc được những kiến thức cơ bản về chương trình toán THCS.

1. Số chính phương là gì? 

Số chính phương là số nguyên dương bằng bình phương đúng của một số nguyên. n là số chính phương thì: n=k² (k thuộc Z)

Hay hiểu cách khác: Số chính phương là một số tự nhiên có căn bậc hai cũng là một số tự nhiên.

Số chính phương còn được gọi là số hình vuông. Số chính phương biểu thị diện tích của một hình vuông có chiều dài cạnh bằng số tự nhiên.

Ví dụ: Số 9 là số chính phương vì bình phương của 3 là 9.

2. Tính chất số chính phương: 

– Tận cùng của số chính phương là 0, 1, 4, 5, 6, 9. Trường hợp các số có tận cùng là 2, 3, 7, 8 thì không được gọi là số chính phương.

– Số chính phương chỉ có thể có 1 trong 2 dạng: 4n hoặc 4n + 1, không có số chính phương nào có dạng 4n + 2 hoặc 4n + 3 ( với n € N)

Ví dụ: Giả sử với n = 2 thì số chính phương ở dạng 4n = 4 x 2 = 8 hoặc n = 5 thì số chính phương ở dạng 4 x 5 + 1 = 21

Không thể ở dạng 4 x 2 + 2 = 10 hoặc 4 x 2 + 3 = 11.

– Số chính phương chỉ có thể có 1 trong 2 dạng: 3n hoặc 3n + 1, không có số chính phương nào có dạng 3n + 2 ( với n € N) .

– Số chính phương chỉ có tận cùng là 1 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn.

Ví dụ: Số chính phương 81 ( bình thương của 9 )

– Số chính phương tận cùng bằng 5 thì chữ số hàng chục là 2

Ví dụ: Số chính phương 25 ( bình phương của 5)

– Số chính phương tận cùng bằng 4 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn.

Ví dụ: Số chính phương 64 ( bình phương của 8)

– Số chính phương tạn cùng bằng 6 thi chữ số hàng chục là chữ số lẻ

Ví dụ: Số chính phương 16 ( bình phương của 4)

– Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn.

Ví dụ: Số chính phương 16 = 2 x 2 x 2 x 2 = 2⁴

– Số chính phương chia cho 4 hoặc 3 không bao giờ có số dư là 2; số chính phương lẻ khi chia 8 luôn dư 1.

– Công thức để tính hiệu của hai số chính phương: a2 – b2 = (a+b).(a-b).

– Số ước nguyên dương của số chính phương là một số lẻ.

3. Một số dạng bài tập về số chính phương: 

3.1. Dạng 1: Chứng minh một số là số chính phương, hoặc là tổng nhiều số chính phương:

Cơ sở phương pháp: Để chứng minh một số n là số là số chính phương ta thường dựa vào định
nghĩa.

3.2. Dạng 2: Chứng minh một số không là số chính phương:

Cơ sở phương pháp: Để chứng minh n không là số chính phương, tùy vào từng bài toán ta có thể
sử dụng các cách sau:

– Phương pháp 1. Chứng minh n không thể viết được dưới dạng một bình phương một số nguyên.

– Phương pháp 2. Chứng minh n² < k < (n+1)² với k là số nguyên.

– Phương pháp 3. Chứng minh n có tận cùng là 2; 3; 7; 8.

– Phương pháp 4. Chứng minh n có dạng 4k + 2; 4k + 3.

– Phương pháp 5. Chứng minh n có dạng 3k + 2.

– Phương pháp 6. Chứng minh n chia hết cho số nguyên tố p mà không chia hết cho p^2.

Ví dụ 1: Chứng minh số n = 20042 + 20032 + 20022 – 20012 không phải là số chính phương.

Lời giải: Ta thấy chữ số tận cùng của các số 20042, 20032, 20022, 20012 lần lượt là 6,9,4,1. Do đó số n có chữ số tận cùng là 8 nên n không phải là số chính phương.

Ví dụ 2: Một số tự nhiên có tổng các chữ số bằng 2018 thì có thể là số chính phương được không ? tại sao?

Lời giải: Gọi số tự nhiên có tổng các chữ số bằng 2018 là n

Ta có: 2018 = 3m + 2 nên số tự nhiên n chia 3 dư 2, do đó số n có dạng 3k + 2 với k là số tự nhiên. Mặt khác một số chính phương trình không có dạng 3k + 2 suy ra số tự nhiên n không là số chính phương.

3.3. Dạng 3: Điều kiện để một số là số chính phương:

Cơ sở phương pháp: Chúng ta thường sử dụng các phương pháp sau:

+ Phương pháp 1: Sử dụng định nghĩa.

+ Phương pháp 2: Sử dụng tính chẵn, lẻ.

+ Phương pháp 3: Sử dụng tính chất chia hết và chia có dư.

+ Phương pháp 4: Sử dụng các tính chất.

Ví dụ 1: Tìm số nguyên dương n để các biểu thức sau là số chính phương: A = n² – n + 2

Lời giải:

a, Với n = 1 thì A = n² – n + 2 = 2 không phải là số chính phương

Với n = 2 thì A = n² – n + 2 = 4 là số chính phương.

Với n > 2 thì A = n² – n + 2 không là số chính phương vì (n -1)² =  n² – 2n – 1 < n² – n – 2 <  n²

Vậy n = 2 thì A là số chính phương

Ví dụ 2: Chứng minh rằng số $A={\mathrm{n4}}^{}+2{\mathrm{n3}}^{}+2{\mathrm{n2}}^{}+2n+1$trong đó n thuộc N và n>1 không phải số chính phương.

Ta có:

$A=n4+\; 2n3+\; 2n2+\; 2n\; +\; 1=\; n4+\; 2n3+\; n2\; +\; n2+\; 2n\; +\; 1$

      =$({\mathrm{n2}}^{}+n{)2}^{}+(n+1{)2}^{}>({\mathrm{n2}}^{}+n{)2}^{}$ với mọi n>1.

=> $A>$ với mọi n >1.

Mặt khác

$({\mathrm{n2}}^{}+n+1{)2}^{}={\mathrm{n2}}^{}+2{\mathrm{n3}}^{}+{\mathrm{n2}}^{}+1$

$=\; n4+2{\mathrm{n3}}^{}+2{\mathrm{n2}}^{}+2n+1+{\mathrm{n2}}^{}$

= $A+{\mathrm{n2}}^{}>$ với mọi n>1

=> $A<({\mathrm{n2}}^{}+n+1{)2}^{}$

Ta có $({\mathrm{n2}}^{}+n)và({\mathrm{n2}}^{}+n+1)$ là hai số tự nhiên liên tiếp nên A không thể là số chính phương.

3.4. Dạng 4: Tìm số chính phương:

Cơ sở phương pháp: Dựa vào định nghĩa về số chính phương A = với k là số nguyên và các yêu cầu của bài toán để tìm ra số chính phương thỏa bài toán.

Ví dụ: Chứng minh: Với mọi số tự nhiên n thì an = n(n+1)(n+2)(n+3) + 1 là số chính phương.

Lời giải:

Ta có:

an = n(n+1)(n+2)(n+3) + 1

= (n² + 3n)(n² + 3n + 2) +1

= (n² + 3n)2+ 2(n² + 3n) + 1

= (n² + 3n + 1)²

Với n là số tự nhiên thì (n2 + 3n + 1)² cũng là số tự nhiên, vì vậy, an là số chính phương.

4. Dấu hiệu nhận biết và ví dụ số chính phương:

Từ định nghĩa về số chính phương thì bạn cũng cần nắm được dấu hiệu nhận biết số chính phương như sau:

Số tận cùng (hàng đơn vị): Số chính phương chỉ có thể tận cùng (hàng đơn vị) là 0, 1, 4, 5, 6, 9. Ngược lại thì các số tận cùng là 2, 3, 7, 8 không phải là số chính phương.

Dựa vào các tính chất về số chính phương.

Dựa trên khái niệm, đặc điểm và tính chất của số chính phương ta có một số ví dụ về số chính phương như sau:

– 4 là một số chính phương chẵn, vì 4 = 2²

– 9 là một số chính phương lẻ, bởi 9 = 3²

– 16 là một số chính phương chẵn, bởi vì 16 = 4²

– 25 là một số chính phương lẻ, vì 25 = 5²

– 36 là một số chính phương chẵn, vì 36 = 6²

– 225 là một số chính phương lẻ, vì 225 = 15²

– 289 là một số chính phương lẻ, vì 289 = 17²

– 576 là một số chính phương chẵn, vì 576 = 24²

– 1.000.000 là một số chính phương chẵn, vì 1.000.000= 1.000²

Phân loại số chính phương:

Số chính phương bao gồm hai loại: số chính phương chẵn và số chính phương lẻ.

Một số chính phương được gọi là số chính phương chẵn nếu như nó là bình phương của một số chẵn và ngược lại. Số chính phương được gọi là số chính phương lẻ nếu như nó là bình phương của một số lẻ.

5. Ứng dụng số chính phương: 

Số chính phương không chỉ là một phát hiện toán học giúp đỡ cho việc tính toán làm bài tập. Bên cạnh đó phát hiện số chính phương góp phần tạo nên ngôn ngữ lập trình. Thuật toán kiểm tra số chính phương C++. Thuật toán kiểm tra số chính phương là một trong những thuật toán rất căn bản khi bạn bắt đầu học lập trình. Nó sẽ giúp các bạn rèn luyện tính tư duy logic.