Trung điểm của đoạn thẳng là gì? Trung điểm của đoạn thẳng?

Trung điểm của đoạn thẳng là điểm chính giữa cách đều hai đầu đoạn thẳng. Đây là một kiến thức căn bản của chương trình toán học. Hãy cùng chúng tôi tìm hiểu về trung điểm của đoạn thẳng.

1. Định nghĩa trung điểm của đoạn thẳng?

Trung điểm là điểm nằm chính giữa đoạn thẳng và chia đoạn thẳng ra làm hai đoạn có độ dài bằng nhau.

Ví dụ ta có đoạn thẳng AB, điểm M nằm trên AB và AM = MB. Vậy M chính là trung điểm của đoạn AB.

2. Tính chất trung điểm của đoạn thẳng:

– Nếu M là trung điểm của AB thì MA = MB = AB/2

– Trung điểm của đoạn thẳng còn có tên gọi khác là điểm chính giữa của đoạn thẳng.

– Mỗi đoạn thẳng chỉ có duy nhất một điểm chính giữa.

– Mỗi đoạn thẳng có nhiều điểm nằm giữa.

– Trung điểm nằm giữa và cách đều 2 đầu mút của đoạn thẳng.

– Tính chất vecto của trung điểm:

 Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì ta có:

với mọi điểm M bất kỳ.

3. Hướng dẫn vẽ trung điểm của đoạn thẳng:

Cách 1. Vẽ trung điểm của đoạn thẳng bằng Compa

Giả sử mình cần vẽ trung điểm M của đoạn thẳng AB thì mình làm lần lượt các bước như sau:

Bước 1. Dựng đường tròn tâm A bán kính AB

Bước 2. Dựng đường tròn tâm B bán kính BA

Bước 3. Dựng giao điểm C và D của hai đường tròn giao nhau.

Bước 4. Dựng đường thẳng CD

Bước 5. Dựng giao điểm M của đường thẳng CD và AB

Điểm M vừa vẽ là điểm chính giữa của đoạn thẳng AB

Nhận xét về cách vẽ:

– Không nhất thiết phải dựng hai đường tròn có bán kính bằng độ dài đoạn thẳng.

– Bán kính của hai đường tròn nhất định phải lớn hơn một phân hai độ dài đoạn thẳng.

– Có thể dựng cung tròn (phù hợp) thay cho đường tròn, cho đỡ bẩn giấy. 

Chú ý: Điều kiện bắt buộc là hai đường tròn hoặc hai cung tròn phải có cùng bán kính.

Cách 2. Vẽ trung điểm của đoạn thẳng bằng thước thẳng

Giả sử chúng ta cần vẽ trung điểm M của đoạn thẳng AB thì bạn làm như sau:

Thao tác thực hiện

Bước 1. Dùng thước thẳng có chia vạch đo độ dài đoạn thẳng AB (giả sử độ dài đoạn thẳng AB đo được là 9cm. 

Bước 2. Trên tia AB vẽ điểm M sao cho độ dài đoạn thẳng AM bằng 4.5 cm

Trình bày thao tác thực hiện trên giấy:

Vì điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB nên ta có MA+MB=ABMA=MB

=> MA=MB=AB2=92=4.5 cm

Trên tia AB đựng điểm M sao cho 

AM=4.5 cm

Cách 3. Phương pháp gấp giấy

Giả sử chúng ta cần vẽ trung điểm M của đoạn thẳng AB, ta làm như sau:

Bước 1. Vẽ đoạn thẳng AB trên giấy

Bước 2. Tiến hành gấp giấy sao cho điểm B trùng với điểm A, hoặc ngược lại điểm A trùng với điểm B

Bước 3. Nếp gấp cắt đoạn thẳng AB tại một điểm, điểm đó chính là trung điểm M cần xác định.

4. Các dạng bài tập về trung điểm của đoạn thẳng:

Dạng 1. Tính độ dài đoạn thẳng liên quan tới trung điểm.

Phương pháp giải:

Để tính độ dài đoạn thẳng ta thường sử dụng các nhận xét sau:

– Nếu điểm M nằm giữa hai điểm A,B thì AM + MB = AB

– Nếu M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì MA = MB = AB/2

Các ví dụ.

Ví dụ 1. Vẽ đoạn thẳng AM = 7 cm . là điểm nằm giữa A và C, AC là 3 cm là trung điểm của . Tính BM.

Giải

Ta có C nằm giữa A và B nên AC + BC = AC + BC = AB; 3+ BC = 7 ; BC = 7 – 3 = 4 (cm)

Vì M là trung điểm BC nên BM = BC/2 = 4/2 = 2 cm

Dạng 2: Chứng minh một điểm là trung điểm của một đoạn thằng, chứng minh đẳng thức độ dài có liên quan.

Phương pháp giải:

Để chứng minh M là trung điểm của đoạn thẳng AB, ta thường làm như sau:

Bước 1: Chứng tỏ M nằm giữa A và B.

Bước 2: Chứng tỏ MA = MB

Ví dụ 1. Trên tia Ox, vẽ hai điểm A, B sao cho OA = 2cm ; OB = 4cm.

a) Điểm A có nằm giữa hai điểm o và B không ?

b) So sánh OA và AB.

c) Điểm A có là trung điểm của đoạn thẳng OB không ? Vì sao ?

Giải

a) Điểm A nằm giữa O và B vì A và B đều nằm trên tia Ox và OA < OB.

b) Điểm  A nằm giữa O và B nên :

OA + AB = OB;

AB = OB – OA = 4 – 2 = 2 (cm)

Vậy : OA = AB.

c) Điểm A là trung điểm của OB vì A nằm giữa O và B và OA = AB.

Ví dụ 2.

Cho hai tia đối nhau Ox, Ox’. Trên tia Ox vẽ điểm A sao cho OA = 2cm. Trên tia Ox’ vẽ điểm B sao cho

OB = 2cm. Hỏi O có là trung điểm của đoạn thẳng AB không ? Vì sao ?

Giải

Hai tia OA, OB đối nhau nên O nằm giữa A và B. Lại có OA = OB = 2cm nên O là trung điểm của AB.

Dạng 3: Chọn câu trả lời đúng; điền vào chỗ trống 

Phương pháp giải

Chọn câu bao gồm đủ hai điều kiện của định nghĩa trung điểm của đoạn thẳng.

Ví dụ 1. 

Khi nào ta kết luận được điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB ? Em hãy chọn những câu trả lời

đúng trong các câu trả lời sau :

a) Cho biết IA = IB ;

b) Cho biết AI + IB = AB ;

c) Cho biết AI + IB = AB và IA = IB ;

d) Cho biết IA = IB = AB/2 .

Hướng dẫn

Câu c), câu d) đúng.

Ví dụ 2. 

Đo các đoạn thẳng AB, BC, CD, CA rồi điền vào chỗ trống trong các phát biểu sau :

a) Điểm C là trung điểm của … vì…

b) Điểm C không là trung điểm của … vì C không thuộc đoạn thẳng AB.

c) Điểm A không là trung điểm của BC vì…

Hướng dẫn

a) BD vì C nằm giữa B, D và CB = CD (= 2,5 cm);

b) AB ;

c) A không nằm giữa B và C .

5. Một số bài tập về trung điểm của đoạn thẳng:

Bài 1: Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Tính độ dài hai đoạn thảng AM và MB, biết AB = 4cm.

Bài 2: Gọi C là trung điểm của đoạn thẳng AB. Tính độ dài hai đoạn thảng AC và BC, biết AB= 6cm.

Bài 3: Cho điểm O thuộc đường thẳng xy. Trên tia Ox lấy điểm M sao cho OM = 4cm. Trên tia Oy lấy điểm N sao cho ON=2cm. Gọi A, B lần lượt là trung điểm của OM và ON.

a) Chứng tỏ O nằm giữa A và B.

b) Tính độ dài đoạn thẳng AB.

Bài 4: Cho Ox và Oy là hai tia đối nhau. Trên tia Ox lấy điểm A sao cho OA = 6cm. Trên tia Oy lấy điểm B sao cho OB=3cm. Gọi M vàN lần lượt là trung điểm của OA và OB.

a) Tong ba điểm M,O,N điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại? Vì sao?

b) Tính độ dài các đoạn thẳng OM, ON và MN.

Bài 5: Trên Ox lấy hai điểm A,B sao cho OA=2cm, OB =6cm. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳn OB.

a) Tính độ dài đoạn thẳng AB.

b) Chứng tỏ A nằm giữa O và M.

c) Tính đọ dài AM.

Bài 6: Trên tia Ox, lấy hai điểm A và B sao cho OA= 4cm, OB = 6cm. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng OB.

a) Tinh độ dài AB.

b) Chứng tỏ M nằm giữa hai điểm O và A.

Bài 7: Cho điểm O nằm giữa hai điểm A và B. Gọi M và N theo thứ tự là trung điểm của OA và OB. Tính độ dài MN, biết AB = a

Bài 8: Cho đoạn thẳng AB= 6cm. Lấy điểm C thuộc đoạn thẳng AB sao cho AC=4cm. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AC và BC.

a) Tính độ dài MC và NC.

b) Chứng tỏ điểm C nằm giữa hai điểm M và N.

c) Tính độ dài MN.

Bài 9. Trên cùng một đường thẳng đặt đoạn AB = 8cm, BC = 4cm (biết tia BA và BC là hai tia đối nhau). Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các đoạn AB, AC, BC.

a) Điểm N là trung điểm của đoạn thẳng nào? Tại sao?

b) Điểm B là trung điểm của đoạn thẳng nào? Tại sao?

c) Lấy I là trung điểm của đoạn thẳng MN thì điểm I cũng là trung điểm của đoạn thẳng nào? Tại sao?

Bài 10. Cho ba điểm M, N, O ; biết độ dài của ba đoạn thẳng đó là: MN = 5cm, NO = 4cm, MO = 3cm.

a) Điểm O có nằm giữa hai điểm M và N không? Vì sao?

b) Ba điểm M, N, O có thẳng hàng không? Vì sao?

Bài 11. Các điểm A, B, C nằm trên cùng một đường thẳng. Các điểm M và N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB và AC. Chứng tỏ rằng: BC = 2MN.

Bài 12. Cho đoạn thẳng AB= 8 cm. Gọi M là trung điểm của AB. Trên đoạn AB lấy hai điểm C và D sao cho AC=BD= 3cm.

a) Tính độ dài CD.

b) Điểm M có phải là trung điểm của CD không vì sao?

Bài 13. Cho đoạn thẳng AB= 6cm. M là trung điểm của đoạn AB, N là điểm nằm giữa A và M sao cho AN=1cm. Tính độ dài đoạn MN.

Bài 14.. Trên tia Ox lấy hai điểm A,B sao cho OA=3cm, OB=6cm

a) Điểm A có nằm giữa hai điểm O và B hay không.

b) So sánh OA và OB.

c) Điểm A có phải là trung điểm của OB không? Vì sao?

Bài 15. Trên tia Ox lấy hai điểm M, N sao cho OM=6cm, ON =10cm. Gọi I, K là trung điểm của ON và MN. Tính độ dài đoạn IK.