Tứ diện là gì? Tứ diện đều là gì? Công thức tính và bài tập?

1. Tứ diện là gì?

Trong hình học, tứ diện còn được gọi là hình chóp tam giác, là một khối đa diện gồm bốn mặt tam giác, sáu cạnh thẳng và bốn góc ở đỉnh. Khối tứ diện là khối đơn giản nhất trong số các khối đa diện lồi thông thường và là khối duy nhất có ít hơn 5 mặt.

Hình tứ diện là một loại hình chóp, là hình đa diện có đáy là đa giác phẳng và các mặt tam giác nối đáy với một điểm chung. Trong trường hợp tứ diện, đáy là một hình tam giác (bất kỳ mặt nào trong số bốn mặt đều có thể được coi là đáy), do đó, tứ diện còn được gọi là “hình chóp tam giác”.

Đối với bất kỳ tứ diện nào cũng tồn tại một mặt cầu (được gọi là mặt cầu ngoại tiếp ) trên đó có tất cả bốn đỉnh và một mặt cầu khác (mặt cầu trong ) tiếp xúc với các mặt của tứ diện

2. Tứ diện đều là gì?

Tứ diện đều là tứ diện có bốn mặt đều là tam giác đều. Nó là một trong năm chất rắn Platonic thông thường , đã được biết đến từ thời cổ đại.

Trong một tứ diện đều, tất cả các mặt đều có cùng kích thước và hình dạng (đồng dạng) và tất cả các cạnh đều có cùng độ dài.

Năm tứ diện được đặt phẳng trên một mặt phẳng, với các điểm 3 chiều cao nhất được đánh dấu là 1, 2, 3, 4 và 5.

Một mình tứ diện đều không xếp thành ô (lấp đầy khoảng trống), nhưng nếu xen kẽ với khối bát diện đều theo tỷ lệ hai tứ diện trên một bát diện, chúng tạo thành tổ ong lập phương xen kẽ , đó là một ô xếp xen kẽ. Một số tứ diện không đều, bao gồm tứ diện Schläfli và tứ diện Hill , có thể xếp thành hình khối .

Tứ diện đều là đối ngẫu, nghĩa là đối ngẫu của nó là một tứ diện đều khác. Hình ghép bao gồm hai tứ diện kép như vậy tạo thành một bát diện hình sao hoặc bát diện hình sao.

Hình tứ diện là một hình chóp đều có bốn mặt là hình tam giác. Điều này có nghĩa là chúng ta có thể tính thể tích của nó bằng cách nhân diện tích đáy của nó với chiều cao của tứ diện và chia cho ba. Ngoài ra, diện tích bề mặt của nó được tính bằng cách cộng diện tích của bốn mặt tam giác.

Sau đây, chúng ta sẽ tìm hiểu về các công thức tính thể tích và diện tích xung quanh của một tứ diện. Chúng ta sẽ học cách rút ra các công thức này và sẽ sử dụng chúng để giải một số bài tập thực hành.

3. Cách tìm thể tích của khối tứ diện:

Vì tứ diện là một hình chóp tam giác nên chúng ta có thể tính diện tích của nó bằng cách nhân diện tích đáy của nó với chiều dài của nó và chia cho 3.

Chứng minh công thức tính thể tích khối tứ diện:

Như chúng tôi đã đề cập trước đó, tứ diện đều là hình chóp tam giác. Ngoài ra, diện tích của bất kỳ kim tự tháp nào cũng có thể được tính bằng cách nhân diện tích đáy của nó với chiều cao của kim tự tháp và chia cho ba. Vì vậy, chúng tôi có:

Trong đó, Ab là diện tích đáy và h là chiều cao của tứ diện.

Đáy của một tứ diện là một tam giác đều và chúng ta biết rằng diện tích của bất kỳ tam giác nào cũng bằng 1/ 2 độ đài đáy nhân với chiều cao. Sau đó chúng ta có:

A_b= ½ a.h

Đáy của tam giác bằng một trong các cạnh của tứ diện là a. Ngoài ra, chiều cao của một tam giác đều bằng h =

trong đó a là độ dài của một trong các cạnh. Vì vậy, chúng ta có:

 

Cuối cùng, chúng ta có chiều cao của một tứ diện bằng:

Thay thế tất cả điều này vào công thức tính thể tích của một khối tứ diện, chúng ta có:

Vì tứ diện đều là hình chóp có đáy là tam giác nên , nên Thế tích tứ diện đều là

4. Cách tìm diện tích bề mặt của tứ diện:

Vì tứ diện đều là hình chóp tam giác nên cả bốn mặt của chúng đều bằng nhau. Điều này có nghĩa là tất cả các khuôn mặt của họ có hình dạng và kích thước giống nhau. Do đó, chúng ta có thể tính diện tích bề mặt nếu chúng ta biết diện tích của một trong các mặt của tứ diện.

Điều này có nghĩa là chúng ta có:

A_{s =} 4A_t

ở đây , A_s ​là diện tích bề mặt của tứ diện và At ​là diện tích của một trong các mặt tam giác.

Bây giờ, chúng ta có thể tính diện tích của một trong các mặt của một tứ diện là các tam giác đều. Do đó, chúng tôi sử dụng công thức cho diện tích của một tam giác đều :

trong đó a là độ dài của một trong các cạnh.

Thay thế điều này vào công thức diện tích bề mặt tứ diện, chúng ta có:

Diện tích bề mặt của tứ diện chỉ đơn giản là bốn lần diện tích của một mặt tam giác đều duy nhất

Vì thế

Chiều cao của tứ diện đều là

và bán kính và chu vi là

nơi mà  nó phải.

Góc nhị diện là

Góc chắn  bởi một đỉnh bởi mặt đối diện của một tứ diện đều được cho bởi

VÍ DỤ 1

Nếu một tứ diện có các cạnh dài 3 m thì thể tích của nó là bao nhiêu?

Lời giải:

Để tìm thể tích của khối tứ diện đã cho, chúng ta chỉ cần áp dụng công thức thể tích bằng cách thay a = 3. Vì vậy, chúng ta có:

Thể tích của khối tứ diện là1,06 m3.

VÍ DỤ 2

Diện tích bề mặt của một tứ diện có cạnh dài 5 m là bao nhiêu?

VÍ DỤ 3

Một tứ diện đều có các cạnh dài 20 cm. Tính thể tích của nó.

VÍ DỤ 4

Nếu một tứ diện có các cạnh dài 6 m thì diện tích bề mặt của nó là bao nhiêu?

VÍ DỤ 5

Thể tích của khối tứ diện có cạnh dài 10 m là bao nhiêu?

VÍ DỤ 6

Diện tích bề mặt của một tứ diện có cạnh với chiều dài 12 cm là gì?

VÍ DỤ 7

Nếu thể tích tứ diện bằng 1000 m 3 , độ dài các cạnh của nó là bao nhiêu?

VÍ DỤ 8

Nếu diện tích bề mặt của một tứ diện bằng 300 m2 , độ dài các cạnh của nó là bao nhiêu?

VÍ DỤ 9

Thể tích của khối tứ diện bằng 400 m3. Độ dài các cạnh của nó là bao nhiêu?

VÍ DỤ 10

Nếu diện tích bề mặt của một tứ diện bằng1000 m3, độ dài các cạnh của nó là bao nhiêu?

Bài tập trắc nghiệm