Trong nội dung bài viết này chúng tôi sẽ hỗ trợ tư vấn trả lời câu hỏi: Cấp số nhân là gì? Công thức tính cấp số nhân?
Toán học là môn học quan trọng, có tính ứng dụng rất cao. Trong Toán học có rất nhiều những công thức giúp người học có thể tính toán nhanh và đưa ra kết quả chính xác. Một trong những công thức đó có thể kể đến cấp số nhân. Vậy Cấp số nhân là gì? Công thức tính cấp số nhân?
Cấp số nhân là gì?
Trong toán học, một cấp số nhân (tiếng Anh: geometric progression hoặc geometric sequence) là một dãy số thoả mãn điều kiện kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi. Hằng số này được gọi là công bội của cấp số nhân.
Như vậy, một cấp số nhân có dạng
Trong đó r là công bội và a là số hạng đầu tiên
Ví dụ cấp số nhân
Cấp số nhân với công bội là 2 và phần tử đầu tiên là 1
-
- 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024,….
Cấp số nhân với công bội 2/3 và phần tử đầu tiên là 729:
-
- 729 (1, 2/3, 4/9, 8/27, 16/81, 32/243, 64/729,….) = 729, 486, 324, 216, 144, 96, 64,….
Cấp số nhân với công bội −1 và phần tử đầu là 3
-
- 3 (1, −1, 1, −1, 1, −1, 1, −1, 1, −1,….) = 3, −3, 3, −3, 3, −3, 3, −3, 3, −3,….
Sự thay đổi của cấp số nhân tuỳ theo giá trị của công bội
Nếu công bội là:
+ Số dương: Các số hạng luôn có dấu cố định.
+ Số âm: các số hạng là đan dấu giữa âm và dương..
+ 0, mọi số hạng bằng 0.
+ Lớn hơn 1, các số hạng tăng theo hàm mũ tới vô cực dương hoặc âm.
+ 1, là một dãy không đổi.
+ Giữa 1 và −1 nhưng khác không, chúng giảm theo hàm mũ về 0.
+ −1, là một dãy đan dấu.
+ Nhỏ hơn −1, chúng tăng theo hàm mũ về vô cực (dương và âm).
Tính chất cấp số nhân
+ u2k=uk–1.uk+1,∀k≥2
+ Số hạng tổng quát: un=u1.qn–1,n≥2.
+ Tổng n số hạng đầu: Sn=u1+u2+…+un=u1(1–qn)1–q
+ Khi q = 0 thì dãy là u1;0;0;…;0;… và Sn=u1
+ Khi q = 1 thì dãy có đạng u1;u1;u1;…;u1;…và Sn=n.u1
+ Khi u1=0 thì với mọi q, cấp số nhân có dạng 0;0;0;…;0;…và Sn=0
Các dạng bài tập cấp số nhân
Dạng 1: Nhận biết CSN
Bước 1: Tính q=un+1un,∀n≥1
Bước 2: Kết luận:
+ Nếu q là số không đổi thì dãy (un) là CSN.
+ Nếu q thay đổi theo n thì dãy (un) không là CSN.
Dạng 2: Tìm công bội của cấp số nhân
Sử dụng các tính chất của CSN, biến đổi để tính công bội của CSN.
Dạng 3: Tìm số hạng của cấp số nhân
Sử dụng công thức tính số hạng tổng quát un=u1.qn–1,n≥2
Dạng 4: Tính tổng cấp số nhân của n số hạng đầu tiên trong dãy
Để tính tổng của CSN với n số hạng đầu tiên trong dãy số, ta sử dụng công thức:
Sn=u1+u2+…+un=u1(1–qn)1–q
Dạng 5: Tìm CSN
+ Tìm các yếu tố xác định một CSN như: số hạng đầu u1, công bội q.
+ Tìm công thức cho số hạng tổng quát un=u1.qn–1,n≥2.
Bài tập cấp số nhân
Bài tập 1. Cho cấp số nhân ( un ), biết công bội q = 3 và số hạng đầu tiên u1 = 8. Hãy tìm số hạng thứ 2
A. 24
B. 16
C. 32
D. 40
Hướng dẫn giải
Áp dụng công thức cấp số nhân: un+1=un.q
q = 3
số hạng thứ 2: n + 1 = 2 => n = 1
u1 = 8
Thay số vào: u1+1=u1.q⇒u2=8.3=24
Chọn đáp án A.
Bài tập 2. Cho cấp số nhân ( un ), biết số hạng đầu tiên u1 = 8 và số hạng kế tiếp u2 = 24. Hãy tìm công bội của dãy số này
A. 6
B. 5
C. 4
D. 3
Hướng dẫn giải
Áp dụng công thức tổng quát: un+1=un.q
u1 = 8
u2 = 24
Thay số vào: u2=u1.q⇒24=8.q⇒q=248=3
Chọn đáp án D.
Bài tập 3. Cho cấp số nhân ( un ), biết rằng số hạng đầu tiên u1 = 3, công bội là 2. Hãy tìm số hạng thứ 5
A. 96
B. 48
C. 24
D.12
Hướng dẫn giải
Áp dụng công thức số hạng bất kì: un=u1.qn–1
u1 = 3
q = 2
n = 5
Thay số vào: u5=3.25–1=48
Chọn đáp án B.
Bài tập 4. Cho cấp số nhân ( un ), biết công bội q = – 3 và số hạng đầu tiên u1 = 4. Hãy tỉnh tổng của 6 số hạng đầu tiên
A. 244
B. 82
C. 122
D. 730
Hướng dẫn giải
Áp dụng công thức tính tổng của n số hạng đầu tiên: Sn=u11–qn1–q
q = – 3
u1 = 4
Thay số vào: S6=u11–q61–q=5.1–(–2)61–(–2)=730
Chọn đáp án D.
Bài tập 5. Cho cấp số nhân ( un ), biết rằng u1 = – 0,5 và số hạng thứ 7 là u7 = – 32. Hãy tìm công bội
A. q = 2
B. q = – 2
C. q = ± 2
D. q = 3
Hướng dẫn giải
Áp dụng công thức số hạng bất kì: un=u1.qn–1
n = 7
u1 = – 0,5
u7 = – 32
Thay số vào: –32=(–0,5).q7–1⇒q=±2
Chọn đáp án C.
Bài tập 6. Biết rằng một cấp số nhân ( un ) có số hạng đầu u1 = 8, công bội q = 2 và số hạng thứ n là un = 256. Hỏi n bằng bao nhiêu
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
Hướng dẫn giải
Áp dụng công thức cấp số nhân: un=u1.qn–1
u1 = 8
q = 2
un = 256
Thay số vào: 256=8.qn–1⇒qn–1=32⇒qn–1=25
=> n – 1 = 5=> n = 6
Chọn đáp án C.
Trên đây là nội dung bài viết Cấp số nhân là gì? Công thức tính cấp số nhân? Cảm ơ Quý khách hàng đã quan tâm theo dõi bài viết của chúng tôi.