Các trường hợp đồng dạng của tam giác kèm bài tập chi tiết

1. Tam giác đồng dạng là gì?

Tam giác đồng dạng là những tam giác có hình dạng giống nhau nhưng kích thước của chúng có thể khác nhau. Tất cả các tam giác đều, hình vuông có độ dài cạnh bất kỳ là ví dụ về các đối tượng tương tự. Nói cách khác, nếu hai tam giác đồng dạng thì các góc tương ứng bằng nhau và các cạnh tương ứng bằng nhau. Chúng tôi biểu thị sự giống nhau của các hình tam giác ở đây bằng ký hiệu ‘~’ .

Tam giác là đa giác có ba cạnh. Điều kiện để các tam giác đồng dạng là;

i) Các góc tương ứng của hai tam giác bằng nhau và
ii) Các cạnh tương ứng của hai tam giác đó tỉ lệ với nhau.

2. Ví dụ tam giác đồng dạng:

Trong hình đã cho, hai tam giác ΔABC và ΔXYZ chỉ bằng nhau khi:

i) ∠A = ∠X, ∠B = ∠Y và ∠C = ∠Z
ii) AB/XY  = BC/YZ  = AC/XZ  (Tỷ lệ tam giác đồng dạng)

Do đó, nếu các điều kiện nêu trên được thỏa mãn, thì chúng ta có thể nói rằng ΔABC ~ ΔXYZ

3. Tính chất của Tam giác đồng dạng:

Dưới đây là một số tính chất của hai tam giác đồng dạng:

– Hai tam giác đồng dạng có các góc tương đương. Điều này có nghĩa là hai góc ở hai tam giác đồng dạng tương đương nếu chúng có cùng độ lớn. Do đó, nếu ta biết được ba góc của một tam giác, ta có thể suy ra được độ lớn của các góc của tam giác đồng dạng.

– Hai tam giác đồng dạng có các cạnh tương ứng tương tự. Cụ thể, nếu ta biết một cặp cạnh của một tam giác và cặp cạnh tương ứng của tam giác đồng dạng, ta có thể tính được tỉ lệ giữa các cạnh của hai tam giác.

– Tỉ lệ giữa các cạnh của hai tam giác đồng dạng là hằng số. Tỉ lệ này được gọi là tỉ số đồng dạng và thường được ký hiệu là k. Tỉ số đồng dạng giữa hai tam giác là bằng tỉ lệ giữa bất kỳ cặp cạnh tương ứng nào của hai tam giác.

– Diện tích của hai tam giác đồng dạng tỉ lệ bình phương của tỉ số đồng dạng giữa chúng. Nói cách khác, nếu tỉ số đồng dạng giữa hai tam giác là k, diện tích của tam giác đồng dạng sẽ bằng k^2 lần diện tích của tam giác ban đầu.

– Nếu ta có một tam giác và một đường thẳng song song với một trong các cạnh của tam giác, các tam giác thu được bởi các đoạn thẳng chia tam giác ban đầu sẽ đồng dạng với tam giác ban đầu. Tính chất này được gọi là tính chất chia tỷ lệ.

4. Các trường hợp đồng dạng của tam giác:

– Đồng dạng giữa hai tam giác bằng cách có các góc tương đương: Nếu hai tam giác có ba cặp góc tương đương, chúng sẽ đồng dạng với nhau. Cụ thể, hai tam giác ABC và DEF sẽ đồng dạng nếu:

+ Góc A bằng góc D, góc B bằng góc E và góc C bằng góc F.

+ Góc A bằng góc D, góc B bằng góc E và góc C không bằng góc F, nhưng tổng hai góc không giống nhau trong hai tam giác bằng nhau.

+ Góc A bằng góc D, góc B không bằng góc E, nhưng tổng hai góc không giống nhau trong hai tam giác bằng nhau.

– Đồng dạng giữa hai tam giác bằng cách có các cạnh tương ứng tỉ lệ với nhau: Nếu hai tam giác có các cạnh tương ứng tỉ lệ với nhau, chúng sẽ đồng dạng với nhau. Cụ thể, hai tam giác ABC và DEF sẽ đồng dạng nếu:

+ Cạnh AB chia cho cạnh DE có tỉ số bằng cạnh AC chia cho cạnh DF.

+ Cạnh AB chia cho cạnh DE có tỉ số bằng cạnh BC chia cho cạnh EF.

+ Cạnh AC chia cho cạnh DF có tỉ số bằng cạnh BC chia cho cạnh EF.

– Trong trường hợp góc – cạnh – góc của hai tam giác, chúng ta cần xét các điều kiện sau để kết luận rằng hai tam giác đó đồng dạng với nhau:

+ Hai góc của hai tam giác phải bằng nhau: Nếu hai góc xen giữa một cạnh của hai tam giác bằng nhau, tức là hai góc có cùng độ lớn, thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau. Cụ thể, hai góc này có thể nằm ở đỉnh của hai tam giác đó hoặc ở hai đỉnh khác nhau của hai tam giác đó.

+ Cạnh giữa hai góc bằng nhau: Cạnh giữa hai góc đó là cạnh chung của hai tam giác và được gọi là cạnh bên. Nếu cạnh bên của hai tam giác bằng nhau, tức là hai tam giác có một cạnh chung có độ dài bằng nhau, thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.

+ Các cạnh còn lại có tỉ lệ bằng nhau: Các cạnh khác của hai tam giác, không bao gồm cạnh bên, phải có tỉ lệ bằng nhau. Tức là, tỉ số độ dài giữa các cạnh của hai tam giác phải bằng nhau.

Nếu đồng thời thỏa mãn cả ba điều kiện trên, hai tam giác đó sẽ đồng dạng với nhau.

5. Bài tập chi tiết về Các trường hợp đồng dạng của tam giác:

Câu 1: Cho ΔABC có độ dài các cạnh là AP = 5 cm , PB = 10 cm và BC = 20 cm. Còn PQ||BC. Tìm PQ.

Giải: Cho ΔABC và ΔAPQ có ∠PAQ chung và ∠APQ = ∠ABC (hai góc bằng nhau)

⇒ ΔABC ~ ΔAPQ (tiêu chuẩn AA của tam giác đồng dạng)

⇒ AP/AB  =  PQ/BC

⇒ 5/15 = PQ/20

⇒PQ = 20/3cm

Câu 2: Các đường chéo AC và BD của hình thang ABCD có AB || DC cắt nhau tại điểm O. Dùng tiêu thức đồng dạng của hai tam giác, hãy chứng minh rằng AO/OC = OB/OD.

Giải: ABCD là hình thang và O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.

Trong ΔDOC và ΔBOA,

AB|| CD, do đó các góc nội tiếp xen kẽ sẽ bằng nhau,

∴∠CDO = ∠ABO

Tương tự,

∠DCO = ∠BAO

Ngoài ra, đối với hai tam giác ΔDOC và ΔBOA, các góc đối đỉnh sẽ bằng nhau;

∴∠DOC = ∠BOA

Do đó, theo tiêu chí tương tự AAA,

ΔDOC ~ ΔBOA

Do đó, các cạnh tương ứng là tỷ lệ thuận.

DO/BO = OC/OA

⇒OA/OC = OB/OD

Do đó, chứng minh.

Câu 3: Kiểm tra xem hai tam giác có bằng nhau không.

Giải: Trong tam giác PQR, theo tính chất tổng các góc;

∠P + ∠Q + ∠R = 180°

60° + 70° + ∠R = 180°

130° + ∠R = 180°

Trừ cả hai bên 130°.

∠ R= 50°

Một lần nữa trong tam giác XYZ, theo tính chất tổng góc;

∠X + ∠Y + ∠Z = 180°

∠60° + ∠Y + ∠50°= 180°

∠ 110° + ∠Y = 180 °

Trừ cả hai bên 110°

∠ Y = 70°

Vì,∠Q = ∠ Y = 70° và ∠Z = ∠ R= 50°

Do đó, theo quy tắc Góc-Góc (AA),

ΔPQR~ΔXYZ.

Câu 4: Tìm độ dài a và b của Tam giác S

Bước 1: Tìm tỉ số

Chúng tôi biết tất cả các cạnh trong Tam giác R và
Chúng tôi biết cạnh 6,4 trong Tam giác S

Hình 6.4 đối diện với góc được đánh dấu bằng hai cung tròn cũng như cạnh có độ dài 8 trong tam giác R .

Vì vậy, chúng tôi có thể khớp 6.4 với 8 và do đó, tỷ lệ của các cạnh trong tam giác S đến tam giác R là: 6,4 đến 8

Bây giờ chúng ta biết rằng độ dài các cạnh của tam giác S bằng 6,4/8 lần độ dài các cạnh của tam giác R .

Bước 2: Sử dụng tỷ lệ

a đối diện với góc có một cung giống như cạnh có độ dài 7 trong tam giác R .

a = (6,4/8) × 7 = 5,6

b đối diện với góc có ba cung giống như cạnh có độ dài 6 trong tam giác R .

b = (6,4/8) × 6 = 4,8

Câu 5: Hai tam giác đồng dạng. Độ dài của DE là bao nhiêu?

Tam giác đã được lật và xoay cũng như thay đổi kích thước, nhưng bằng cách so sánh các góc, chúng ta có thể xác định các cạnh bằng nhau:
AC và DF đối diện với góc nhỏ nhất nên bằng nhau.
AB và EF đối góc trung trực nên bằng nhau.
BC và DE đối diện góc lớn nhất nên bằng nhau.
Chúng ta có thể tính độ dài của DE bằng cách so sánh các cạnh mà chúng ta biết.

Vậy DE/BC = DF/AC
⇒ DE/10,8 = 5,5/4,4
⇒ DE = 10,8 × (5,5/4,4) = 10,8 × 1,25 = 13,5

Câu 6: Hai tam giác đồng dạng. Độ dài AC là bao nhiêu?

Tam giác đã được lật và xoay cũng như thay đổi kích thước, nhưng bằng cách so sánh các độ dài tương ứng, chúng ta có thể xác định các cạnh tương đương:
AB và DE là các cạnh ngắn nhất nên tương đương nhau.
BC và DF là các cạnh có trung trực nên bằng nhau.
AC và EF là các cạnh dài nhất nên bằng nhau.
Chúng ta có thể tính độ dài của AC bằng cách so sánh các cạnh mà chúng ta biết.

Vậy AC/EF = BC/DF
⇒ AC/5,6 = 2,7/3,6
⇒ AC = 5,6 × (2,7/3,6) = 5,6 × 0,75 = 4,2